Eikonal Equation and SDF

SDF的导数性质

在NeuS[1]中使用了eikonal loss, 即\((\lVert\nabla\mathcal{f}(\mathbf{p})\rVert-1)^2=0\), 该损失的加入是为了约束MLP满足SDF的性质, 那么为什么Signed Distance Function(SDF)的导数模长为1呢?

下面给出一个简单证明

假设\(\mathcal{f}(\mathbf{p})\)是定义在\(\Omega\)上的SDF, \(\Omega\)属于\(\mathbb{R}^n\)上的开子集, 对点\(x\notin\partial\Omega\)存在一个最近点\(y\in\partial\Omega\), 因此\(v=\frac{y-x}{\lVert y-x \rVert}\)是最速下降方向即与\(\nabla\mathcal{f}(\mathbf{x})\)同方向

又因\(\mathcal{f}\)恰好表示到最近点的距离, 故沿\(v\)方向移动一单位\(\mathcal{f}\)也变化一单位, 即方向导数满足\(D_v\mathcal{f}=\nabla\mathcal{f}(\mathbf{x})\cdot v=\lVert\nabla\mathcal{f}(x)\rVert \lVert v \rVert \cos(\theta)=1\)

故\(\lVert\nabla\mathcal{f}(x)\rVert=1\)

Eikonal equation (程函方程)

其中\(x\)属于\(\mathbb{R}^n\)上的开子集, \(n(x)>0\)

Helmholtz Equation \(\nabla^2f=-k^2f\)

波动方程由麦克斯韦方程组导出, 亥姆霍兹方程来自于可分离变量的波动方程, 程函方程则来自于亥姆霍兹方程的一般解, 程函方程的具体导出可以参考诺贝尔奖得主Max Born的经典著作光学原理-光的传播, 干涉和衍射的电磁理论

程函方程揭示了波在空间中传播时形状的轨迹(trace of the shape), 也是几何光学(geometric optics)中对波动方程的本质近似(fundamental approximation)

几何光学中对光使用光线(ray)进行建模, 也是图形学渲染中着色理论使用的基本模型

而求解程函方程的fast marching method(FMM)则是最短路径算法(Dijkstra)的一个特例

你看, 物理学和计算机如此美妙的结合在了一起

[1] NeuS: Learning Neural Implicit Surfaces by Volume Rendering for Multi-view Reconstruction